Sketcher BSplinePoleWeight/de

Beschreibung
Blendet die Darstellung der Kontrollpunktgewichte für die Kontrollpunkte einer B-Spline-Kurve ein oder aus (siehe unten für eine Erklärung der Gewichte).



Anwendung

 * 1) Eine B-Spline-Kurve auswählen.
 * 2) Die Schaltfläche drücken.

Gewicht, kurz erklärt
B-Splines sind im Grunde eine Kombination aus Bézierkurven (sehr schön erklärt in diesem und diesem Video).

Die Bézierkurve wird mit dieser Formel berechnet:

$$\quad \textrm{Bezier}(n,t)=\sum_{i=0}^{n}\underbrace{\binom{n}{i}}_{\text{Polynomausdruck}}\underbrace{\left(1-t\right)^{n-i}t^{i}}_{\text{Polynomausdruck}}\; \underbrace{P_{i}}_{\text{Punktkoordinate}} $$

Dabei ist n der Grad der Kurve. Eine Bézierkurve vom Grad n ist also ein Polygon der Ordnung n. Die Faktoren $$P_{i}$$ sind dabei die Koordinaten der Kontrollpunkte der Bézierkurven. Zur Veranschaulichung siehe diese Seite.

Der Begriff Gewicht ist in FreeCAD etwas irreführend, da in der entsprechenden Literatur die Faktoren $$P_{i}$$ oft auch Gewichte genannt werden. FreeCADs Gewichte sind etwas anderes. Die Idee dieser Gewichte ist, die Spline-Kurve zu verändern, durch unterschiedlich "gewichtete" Kontrollpunkte. Die Idee ist, dass ein Punkt mit dem Gewicht 2 doppelt so viel Einfluss hat, wie ein Punkt mit dem Gewicht 1. Dies wird erreicht, durch Anwendung dieser abgewandelten Formel zur Berechnung der Spline-Kurve:

$$\quad \mathrm{Rational\ Bezier}(n,t)=\cfrac{\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left(1-t\right)^{n-i}t^{i}w_{i}P_{i}}{\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left(1-t\right)^{n-i}t^{i}w_{i}\;\;\;\,} $$

wobei $$w_{i}$$ das Gewicht für den Punkt $$P_{i}$$ ist.

Dies ist eine neue Klasse von Bézierkurven, da trotz der wie gewünscht gewichteten Punkte die Kurve nicht mehr polynom ist, sondern gebrochen polynom ist. Daher werden diese Kurven rationale Bézier-Kurven genannt und die B-Splines heißen dann rationale B-Splines.

Die Konsequenz ist, dass man eine größere Flexibilität bei der Festlegung der Spline-Form erhält. Sind alle Gewichte gleich, ändert sich die Form des Splines nicht. Das Verhältnis der Gewichte zueinander ist wichtig, nicht nur der Wert alleine. Dieser Spline zum Beispiel hat exakt dieselbe Form, wie der auf dem ersten Bild:



A weight of zero would be a singularity in the equation to calculate the rational Bézier curves, therefore FreeCAD assures that it cannot become zero. Nevertheless, small values have the same effect as if the control point would almost not exist:



Changing Weights
How to change weights is described in this Wiki page.