Sketcher BSplinePoleWeight/pl

Opis
Pokazuje lub ukrywa wyświetlanie wag dla punktów kontrolnych krzywej złożonej (zobacz poniższy akapit dla wyjaśnienia wag).



Użycie

 * 1) Wybierz krzywą złożoną i użyj przycisku na pasku narzędzi.



Objaśnienie wagi
Krzywe złozone są w zasadzie kombinacją Krzywych Béziera (ładnie wyjaśnione w filmie From Bézier curves to B-spline curves oraz Properties of B-spline curves).

Krzywą Béziera oblicza się według poniższego wzoru:

$$\quad \textrm{Bezier}(n,t)=\sum_{i=0}^{n}\underbrace{\binom{n}{i}}_{\text{polynomial term}}\underbrace{\left(1-t\right)^{n-i}t^{i}}_{\text{polynomial term}}\; \underbrace{P_{i}}_{\text{point coordinate}} $$

"n" jest niniejszym stopniem krzywej. Zatem krzywa Béziera stopnia n jest wielokątem rzędu n. Współczynniki $$P_{i}$$ są więc współrzędnymi punktów kontrolnych krzywych Béziera. Wizualizację można znaleźć na stronie kontrolowanie krzywizn Béziera.

Termin waga w FreeCAD jest nieco mylący, ponieważ w literaturze współczynniki $$P_{i}$$ również często nazywane są wagami. Wagi w FreeCAD są czymś innym. Ideą tych wag jest zmodyfikowanie krzywej tak, aby różne punkty kontrolne były "ważone". Chodzi o to, że punkt o wadze 2 powinien mieć dwa razy większy wpływ niż punkt o wadze 1. Osiąga się to poprzez użycie tej innej formuły do obliczenia krzywej:

$$\quad \mathrm{Rational\ Bezier}(n,t)=\cfrac{\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left(1-t\right)^{n-i}t^{i}w_{i}P_{i}}{\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\left(1-t\right)^{n-i}t^{i}w_{i}\;\;\;\,} $$

dzięki której $$w_{i}$$ jest wagą dla punktu $$P_{i}$$.

Jest to nowa klasa krzywych Béziera, ponieważ pomimo tego, że punkty są rzeczywiście ważone w pożądany sposób, krzywa nie jest już wielomianem, ale wielomianem ułamkowym. Dlatego krzywe te nazywane są racjonalnymi krzywymi Béziera, a krzywe złożonymi nazywane są wtedy racjonalnymi krzywymi złożonymi.

W konsekwencji zyskujemy większą elastyczność w definiowaniu kształtu krzywej. Jeśli wszystkie wagi są równe, kształt krzywej nie zmienia się. Ważne są więc wagi względem siebie, a nie sama wartość. Na przykład ta krzywa ma dokładnie taki sam kształt jak ten na pierwszym obrazku:



Waga równa zero byłaby osobliwością w równaniu do obliczania racjonalnych krzywych Béziera, dlatego FreeCAD zapewnia, że nie może ona stać się zerowa. Niemniej jednak małe wartości mają taki sam efekt, jak gdyby punkt kontrolny prawie nie istniał:





Zmiana wag
Sposób zmiany wag jest opisany na stronie przedstawiającej Krzywe złożone.