Analysis of reinforced concrete with FEM/de

Hintergrund
Der FEM Arbeitsbereich ist in der Lage, das Ausmaß der Bewehrung abzuschätzen, die in einer Betonstruktur erforderlich ist, um sprödes Versagen unter Zug oder Scherung zu verhindern.



Dies geschieht mit der in [http://heronjournal.nl/53-4/3.pdf "Berechnung der Bewehrung für Vollbeton", P.C.J. Hoogenboom und A. de Boer, HERON Vol. 53 (2008) Nr. 4] beschriebenen Methode. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine Nachbearbeitungsroutine für Calculix, die die wichtigsten Zugspannungen im Beton aus einer elastischen Analyse berechnet und diese verwendet, um die Mindestbewehrung in den drei Koordinatenrichtungen zu bestimmen, die erforderlich ist, um ein Versagen zu verhindern. Bei der Analyse wird davon ausgegangen, dass das Betonmaterial keine Zugspannungen tragen kann, während der Stahl bis zu seiner maximalen Kapazität ausgenutzt wird (d.h. die Streckgrenze erreicht).

Die erforderliche Bewehrung wird in Form eines Bewehrungsverhältnisses ausgedrückt. Dies ist das Verhältnis von Stahl zur Betonfläche. Zum Beispiel bedeutet ein Bewehrungsverhältnis von 0,01 in x Richtung (rx=0,01), dass die Gesamtquerschnittsfläche von Bewehrungsstäben, die in x Richtung verlaufen, 1% der Betonquerschnittsfläche betragen sollte, die sie durchqueren. Ein hypothetischer Querschnitt von 1mx1m sollte in diesem Fall 0,01 m2 Stahl enthalten, was durch die Verwendung von 90 Bewehrungsstäben mit jeweils 12 mm Durchmesser erreicht werden könnte (Stahlfläche = 90*PI*(0,012)^2/4=0,0102 m^2). Wenn der erforderliche Bewehrungsgrad über diesen Betonquerschnitt einheitlich ist, könnten die Stäbe in einem äquidistanten 9x10 Raster mit einem Achsabstand von etwa 10 cm angeordnet werden. Dies ist immer noch eine praktische Zahl, bei der genügend Platz zwischen den Stäben bleibt, damit der Beton durchlaufen und eine qualitativ hochwertige Abdeckung gewährleistet werden kann. Viel höhere Werte würden zu einem sehr dichten Bewehrungsgitter mit potenziellen Qualitätsproblemen führen, während viel niedrigere Werte zu großen Spannungsrissen im Querschnitt zwischen den Stäben führen könnten. Ein typischer Bereich in der Praxis liegt zwischen 0,002 und 0,02 (= 0,2% bis 2%). Weitere Hinweise sind in den Bemessungsnormen zu finden.

Wenn das erforderliche Bewehrungsverhältnis über den gesamten Querschnitt nicht einheitlich ist, kann der Querschnitt in pragmatische Unterabschnitte mit mehr oder weniger einheitlichem Verhältnis und der auf diese Querschnitte aufgebrachten Bewehrung unterteilt werden. Ein Beispiel wird später angegeben.

Als ein Wort der Vorsicht sei gesagt, dass es für den Entwurf einer sicheren und dauerhaften Betonstruktur viel mehr braucht, als das, was die FEM Arbeitsbereich derzeit leisten kann. Die Methode berechnet beispielsweise keine Rissbreite (wichtig für Dauerhaftigkeit und Funktionalität), keine genauen Verformungen (FEM Ergebnisse für Beton sind einfach linear-elastisch) und berücksichtigt auch nicht die Anforderungen an die Bewehrungsverankerung (was zu einer Erhöhung der erforderlichen Bewehrungsverhältnisse in den Verankerungszonen führt). Es werden auch keine Betonquetschungen vorhergesagt (obwohl ein Hinweis darauf durch Auftragen der Mohr Coulomb Spannung erhalten werden kann - siehe weiter unten), was bedeuten könnte, dass der Beton versagt, bevor die Bewehrung nachgibt, was zu sprödem Versagen der Gesamtstruktur führt. Diese und andere Einschränkungen bedeuten, dass die FEM Betonfunktionalität nur zur Beurteilung von Konzeptentwürfen verwendet werden kann, während detaillierte Entwurfsentscheidungen, die für die Sicherheit und Leistung entscheidend sind, qualifizierten Fachleuten überlassen werden sollten.

Modellgeometrie, Lasten und Stützen
Obwohl die FEM Betonroutine keine zusätzlichen Anforderungen an Geometrie, Lasten und Stützen stellt, ist zu bedenken, dass scharfe Ecken und eine Stütze an einer Kante oder einem Knoten Spannungskonzentrationen erzeugen können, die an oder in der Nähe dieser Stellen zu extrem hohen und unrealistischen Bewehrungsverhältnissen führen.

Werkstoff Parameter
Der FEM Arbeitsbereich hat ein spezielles Materialobjekt für verstärkte Materialien, das ein Matrixmaterial (z.B. Beton) und ein Verstärkungsmaterial (z.B. Stahl) kombiniert. Für die Analyse von Stahlbeton mit der FEM müssen mindestens die folgenden Parameter angegeben werden:

für Beton:

- Elastizitätsmodul (wird in der Calculix Analyse zur Berechnung elastischer Verformungen und Spannungen verwendet) - Poissonzahl (gleich) - uniaxiale Druckfestigkeit (wird bei der Nachbearbeitung in der FEM zur Berechnung der Mohr Coulomb Spannung als Indikator für Quetsch- oder Scherversagen im Beton verwendet) - Reibungswinkel (gleich)

für Stahl:

- Streckgrenze (wird bei der Nachbearbeitung in der FEM zur Berechnung von Bewehrungsverhältnissen verwendet)

Bitte beachte, dass drei Arten von Analysen durchgeführt werden: 1) Eine elastische Analyse mit Calculix (nur unter Verwendung der elastischen Parameter von Beton); 2) Ein Nachbearbeitungsschritt zur Analyse der erforderlichen Bewehrung (nur unter Verwendung der Streckgrenze von Stahl) und 3) Berechnung der Mohr Coulomb Spannung (nur unter Verwendung der Festigkeitsparameter von Beton, d.h. einachsige Druckfestigkeit und Reibungswinkel). Die Mohr Coulomb Spannung kann in der VTK Pipeline überprüft werden.

Anwendung
Im weiteren Verlauf dieses Artikels werden einige praktische Fälle analysiert, um die Anwendung der Methode zu diskutieren.

Einfach gelagerter Träger mit gleichmäßiger Belastung
Ein 4,0x0,1x0,3 m langer Betonbalken wird durch Eigengewicht und eine verteilte Last von 100 kN (25 kN/m) belastet.

Die Materialparameter sind wie folgt:

für Beton:

- Elastizitätsmodul = 32 GPa (gemäß der Calculix Vorgabe für Beton) - Poissonzahl = 0,17 (gemäß der Calculix Vorgabe für Beton) - uniaxiale Druckfestigkeit = 30 MPa (Betontyp C30/37) - Reibungswinkel = 30 Grad

für Stahl:

- Streckgrenze = 500 MPa

Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3

Die erforderliche Bewehrung in x Richtung ist sehr hoch (5,4 %) und überschreitet typische, nach den Normen zulässige Höchstprozentsätze, um sprödes Versagen zu verhindern. Die hohen Schubspannungen an den Stützen führen ebenfalls zu der Forderung nach einer hohen Bewehrung:



Das Mohr Coulomb Diagramm zeigt, dass der Balken tatsächlich anfällig für Quetschungen auf der Druckseite ist (Mohr Coulomb Spannung > 0,0), wie bei einem sehr hohen Bewehrungsprozentsatz zu erwarten wäre:



Sowohl das Verstärkungsverhältnis als auch die Mohr Coulomb Spannung deuten darauf hin, dass wir ein Problem haben und dass wir unseren konzeptionellen Entwurf überdenken müssen. Mögliche Lösungen sind die Vergrößerung der Balkenabmessungen oder die Verwendung von Spannbeton. Weitere Einzelheiten findest du im folgenden Beitrag: https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=10#p235003

Träger mit Halbspannweitenstützen
Ein 8,0x0,2x0,4 m langer Betonbalken wird durch Eigengewicht und eine verteilte Last von 160 kN (20 kN/m) belastet.

Die Materialparameter sind wie folgt:

für Beton:

- Elastizitätsmodul = 32 GPa (gemäß der Calculix Vorgabe für Beton) - Poissonzahl = 0,17 (gemäß der Calculix Vorgabe für Beton) - uniaxiale Druckfestigkeit = 25 MPa (Betontyp B25) - Reibungswinkel = 30 Grad

für Stahl:

- Streckgrenze = 286 MPa (reduziert von 500 MPa, um einen Sicherheitsfaktor von 1,75 zu berücksichtigen)

Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3

Das ParaView Diagramm der exportierten VTK Datei zeigt, dass der Bewehrungsbedarf am oberen Ende des Trägers in der Nähe der Mittelstütze am größten ist. Hier tritt das höchste Biegemoment auf. Der maximale Bewehrungsgrad liegt mit 0,02 am oberen Ende des zuvor genannten praktischen Bereichs:



Die erforderliche Stahlfläche an der zentralen Stütze kann mit einem ParaView Integrationsfilter erreicht werden, der auf den mittleren Abschnitt des Trägers angewendet wird:



Die Platte unten in diesem Bild zeigt, dass die gesamte erforderliche Stahlfläche bei diesem Querschnitt 389,6 mm^2 beträgt. Da ein Bewehrungsstab mit einem Durchmesser von 12 mm eine Querschnittsfläche von 113 mm^2 hat, bedeutet dies, dass 4 Stäbe erforderlich wären, was eine Querschnittsfläche von 452 mm^2 ergibt. Diese müssten in der Nähe der Oberkante des Balkens platziert werden, wobei eine ausreichende Betondeckung erhalten bleiben müsste. Der theoretische Schwerpunkt für die Bewehrung kann durch Integration ermittelt werden:

CoG_y = Integrate (rx * y dy dz) / Integrate (rx dy dz) CoG_z = Integrate (rx * z dy dz) / Integrate (rx dy dz)

Diese Integrale können auch mit ParaView bestimmt und für den vorliegenden Fall angegeben werden (siehe untere Platten in der obigen Abbildung):

CoG_y = 38961 / 389.6 = 100.0 mm   CoG_z = 134917 / 389.6 = 346.3 mm

die erwartungsgemäß in der Mitte und nahe der Spitze liegt.

Die oben gefundene Verstärkungsanforderung stimmt gut mit derjenigen überein, die mit herkömmlichen Methoden erreicht wird:

https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=20#p235063

Schließlich sollte ein Mohr Coulomb Spannungsnachweis durchgeführt werden, um eine potenzielle Quetschung des Betons zu überprüfen. Für diesen Nachweis sollte die charakteristische Druckfestigkeit des Betons (25MPa) durch einen geeigneten Materialfaktor (>1,0) geteilt werden.

Shear wall with uniform load
A 4.0x2.0x0.15m wall is supported by two 0.5m wide columns. The wall is loaded by self weight and a 1.0MN distributed load at the top.

The material parameters are as follows:

für Beton:

- Young’s modulus = 32 GPa (as per Calculix default for concrete) - Poisson ratio = 0.17 (as per Calculix default for concrete) - uniaxial compressive strength = 20 MPa - friction angle = 30 degrees

für Stahl:

- Streckgrenze = 286 MPa

Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3

The horizontal reinforcement ratio peaks at 0.014 (1.4%) near the bottom center section of the wall and the vertical reinforcement ratio is at a maximum 0.008 (0.8%) near the corners of the wall with the columns, where the shear stresses are highest:



The above picture shows possible zones of constant reinforcement ratio for the design of reinforcement. Although a minimum reinforcement percentage of 0.2% is chosen, it will be hard to achieve such a low value in practice, given that the the spacing should not exceed a practical limit (say 300mm). Even with a light reinforcement grid of 10mm bars (cross sectional area = 78mm^2), the reinforcement ratio would then be 2 * 78 / (150 * 300) = 0.0035 (0.35%). (Note: the factor 2 stems from the fact that the grid will be placed at both faces of the wall). If we add one more bar to the grid (halving the distance) the reinforcement ratio would double to 0.7% and one more would give approximately 1%. So most of the reinforcement requirement could be achieved by starting off with a grid of d=10mm at 300x300mm spacing and adding bars in horizontal or vertical direction, as required. This would cover all but the requirement at the bottom of the wall, where we could add 3 bars d=12mm, giving a horizontal reinforcement ratio of 3 * 113mm^2 / (150mm * 150mm) = 0.015 (1.5%). Here it is assumed that the height of the bottom zone is 150mm. Alternatively, we could chose 2 bars of 16mm diamter, which would achieve the same reinforcement ratio for a zone of 180mm height.

Finally, a review of the Mohr Coulomb stress shows that no concrete crushing is expected in the wall. https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=10#p234673

Deep beam with opening
The FIB Practitioners' Guide to Finite Element Modelling of Reinforced Concrete Structures contains a design example of a deep concrete beam with opening. The example is used in that report to demonstrate the "Strut-and-Tie" method. Here the results will be compared to those obtained with the FreeCAD FEM workbench.

The beam dimensions are 11.0x4.0x0.6m and it is loaded at the top by a distributed load of 120kN/m and a load of 5000kN introduced by a 1m wide column. The factored compressive strength of the concrete is 0.75 x 0.6 x fc = 0.45 * 35 = 15.8MPa and the factored yield strength of the reinforcement steel is 315MPa.

The reinforcement ratios and principal concrete stresses (compression only) derived with FreeCAD are shown below:



The required horizontal reinforcement (below in red) is determined by integration of the horizontal reinforcement ratio over the vertical cuts of interest (below in black). This is done using a Paraview integration filter.



The insert to the above figure shows a comparison of reinforcement requirements (in mm^2 of steel) determined with FreeCAD to those in the FIB report.

The following shows how the integration over lines of interest works in Paraview:



Finally a plot of compressive and tensile principal stresses to demonstrate how stresses flow through the beam.



The tensile stress pattern suggests an alternative design concept using pre-stressing cables (superimposed in white). This concept is further elaborated in the following post: https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=33049

Verwandt

 * FEM Beton