Analysis of reinforced concrete with FEM/de: Difference between revisions

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<span id="Background"></span>
== Hintergrund ==
== Hintergrund ==


Der FEM Arbeitsbereich ist in der Lage, das Ausmaß der Bewehrung abzuschätzen, die in einer Betonstruktur erforderlich ist, um sprödes Versagen unter Zug oder Scherung zu verhindern.
Der Arbeitsbereich [[FEM_Workbench/de|FEM]] ist in der Lage, das Ausmaß der Bewehrung abzuschätzen, die in einer Betonstruktur erforderlich ist, um sprödes Versagen unter Zug oder Scherung zu verhindern.



[[Image:Femconcrete_Wall_3D_rx_PSS.png|700px]]
[[Image:Femconcrete_Wall_3D_rx_PSS.png|700px]]


This is done with the method described in [http://heronjournal.nl/53-4/3.pdf "Computation of reinforcement for solid concrete", P.C.J. Hoogenboom and A. de Boer, HERON Vol. 53 (2008) No. 4]. In essence it is a post processing routine for Calculix, which calculates the principal tensile stresses in the concrete from an elastic analysis and uses those to determine the minimum reinforcement in the three coordinate directions required to prevent failure. In the analysis it is assumed that the concrete material cannot carry tensile stresses, whereas the steel is utilized to its maximum capacity (i.e. reaches yield).
Dies geschieht mit der in [http://heronjournal.nl/53-4/3.pdf "Berechnung der Bewehrung für Vollbeton", P.C.J. Hoogenboom und A. de Boer, HERON Vol. 53 (2008) Nr. 4] beschriebenen Methode. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine Nachbearbeitungsroutine für CalculiX, die die wichtigsten Zugspannungen im Beton aus einer elastischen Analyse berechnet und diese verwendet, um die Mindestbewehrung in den drei Koordinatenrichtungen zu bestimmen, die erforderlich ist, um ein Versagen zu verhindern. Bei der Analyse wird davon ausgegangen, dass das Betonmaterial keine Zugspannungen tragen kann, während der Stahl bis zu seiner maximalen Kapazität ausgenutzt wird (d.h. die Streckgrenze erreicht).


Die erforderliche Bewehrung wird in Form eines Bewehrungsverhältnisses ausgedrückt. Dies ist das Verhältnis von Stahl zur Betonfläche. Zum Beispiel bedeutet ein Bewehrungsverhältnis von 0,01 in x-Richtung (rx = 0,01), dass die Gesamtquerschnittsfläche von Bewehrungsstäben, die in x-Richtung verlaufen, 1% der Betonquerschnittsfläche betragen sollte, die sie durchqueren. Ein hypothetischer Querschnitt von 1mx1m sollte in diesem Fall 0,01 m2 Stahl enthalten, was durch die Verwendung von 90 Bewehrungsstäben mit jeweils 12 mm Durchmesser erreicht werden könnte (Stahlfläche = 90*PI*(0,012)^2/4 = 0,0102 m^2). Wenn der erforderliche Bewehrungsgrad über diesen Betonquerschnitt einheitlich ist, könnten die Stäbe in einem äquidistanten 9x10 Raster mit einem Achsabstand von etwa 10 cm angeordnet werden. Dies ist immer noch eine praktische Zahl, bei der genügend Platz zwischen den Stäben bleibt, damit der Beton durchlaufen und eine qualitativ hochwertige Abdeckung gewährleistet werden kann. Viel höhere Werte würden zu einem sehr dichten Bewehrungsgitter mit potenziellen Qualitätsproblemen führen, während viel niedrigere Werte zu großen Spannungsrissen im Querschnitt zwischen den Stäben führen könnten. Ein typischer Bereich in der Praxis liegt zwischen 0,002 und 0,02 (= 0,2% bis 2%). Weitere Hinweise sind in den Bemessungsnormen zu finden.
The required reinforcement is expressed in terms of a reinforcement ratio. This is the ratio of steel to concrete area. For example a reinforcement ratio of 0.01 in x-direction (rx=0.01) means that the total cross sectional area of reinforcement bars running in x direction should be 1% of the concrete cross sectional area they are passing through. A hypothetical cross section of 1mx1m should in that case contain 0.01 m2 steel, which could be achieved by using 90 reinforcement bars of 12mm diameter each (steel area = 90*PI*(0.012)^2/4=0.0102 m^2). If the required reinforcement ratio over this concrete cross section is uniform then the bars could be placed at an equidistance 9x10 grid with a center-to-center distance of approximately 10cm. This is still a practical number where sufficient space between bars is left for the concrete to pass through and ensure a high quality cover. Much higher values would lead to a very dense reinforcement grid with potential quality issues, whereas much lower values could lead to large tension cracks in the cross section between the bars. A typical range in practice is from 0.002 to 0.02 (= 0.2% to 2%). Further guidance can be found in design codes.


Wenn das erforderliche Bewehrungsverhältnis über den gesamten Querschnitt nicht einheitlich ist, kann der Querschnitt in pragmatische Unterabschnitte mit mehr oder weniger einheitlichem Verhältnis und der auf diese Querschnitte aufgebrachten Bewehrung unterteilt werden. Ein Beispiel wird später angegeben.
If the required reinforcement ratio is not uniform over the full cross section then the cross section can be divided into pragmatic sub-sections with more or less uniform ratio and reinforcement applied to those cross-sections. An example will be given later on.


Als ein Wort der Vorsicht sei gesagt, dass es für den Entwurf einer sicheren und dauerhaften Betonstruktur viel mehr braucht, als das, was der Arbeitsbereich FEM derzeit leisten kann. Die Methode berechnet beispielsweise keine Rissbreite (wichtig für Dauerhaftigkeit und Funktionalität), keine genauen Verformungen (FEM-Ergebnisse für Beton sind einfach linear-elastisch) und berücksichtigt auch nicht die Anforderungen an die Bewehrungsverankerung (was zu einer Erhöhung der erforderlichen Bewehrungsverhältnisse in den Verankerungszonen führt). Es werden auch keine Betonquetschungen vorhergesagt (obwohl ein Hinweis darauf durch Auftragen der Mohr-Coulomb-Spannung erhalten werden kann - siehe weiter unten), was bedeuten könnte, dass der Beton versagt, bevor die Bewehrung nachgibt, was zu sprödem Versagen der Gesamtstruktur führt. Diese und andere Einschränkungen bedeuten, dass die FEM-Betonfunktionalität nur zur Beurteilung von Konzeptentwürfen verwendet werden kann, während detaillierte Entwurfsentscheidungen, die für die Sicherheit und Leistung entscheidend sind, qualifizierten Fachleuten überlassen werden sollten.
As a word of caution, it takes much more to design a safe and durable concrete structure than what the FEM work bench can currently provide. For example, the method does not calculate crack width (important for durability and functionality), accurate deformations (FEM results for concrete are simply linear-elastic) or take account of reinforcement anchoring requirements (causing an increase of required reinforcement ratios in anchoring zones). It also doesn’t predict concrete crushing (although an indication of that can be obtained by plotting the Mohr Coulomb stress - see further), which could mean that the concrete fails before the reinforcement yields, causing brittle failure of the overall structure. These and other limitations mean that the FEM concrete functionality can only be used to assess conceptual designs, whereas detailed design decisions critical to safety and performance should be left to qualified professionals.


<span id="Model_geometry,_loads_and_supports"></span>
== Model geometry, loads and supports ==
== Modellgeometrie, Lasten und Stützen ==
Although the FEM concrete routine does not have any additional requirements for geometry, loads and supports, it should be borne in mind that sharp corners and a support on an edge or vertex can introduce stress concentrations that will lead to extremely high and unrealistic reinforcement ratios at or near those locations.


Obwohl die FEM-Betonroutine keine zusätzlichen Anforderungen an Geometrie, Lasten und Stützen stellt, ist zu bedenken, dass scharfe Ecken und Stützen an Kanten oder Knoten Spannungskonzentrationen erzeugen können, die an oder in der Nähe dieser Stellen zu extrem hohen und unrealistischen Bewehrungsverhältnissen führen.
== Material Parameters ==

FEM workbench has a special material object for reinforced materials, which combines a matrix material (e.g. concrete) and a reinforcement material (e.g.steel). For the analysis of reinforced concrete with FEM, the following parameters need to be specified, as a minimum:
<span id="Material_Parameters"></span>
==Werkstoffparameter==

Der Arbeitsbereich FEM hat ein spezielles Materialobjekt für verstärkte Materialien, das ein Matrixmaterial (z.B. Beton) und ein Verstärkungsmaterial (z.B. Stahl) kombiniert. Für die Analyse von Stahlbeton mit der FEM müssen mindestens die folgenden Parameter angegeben werden:


für Beton:
für Beton:


* Elastizitätsmodul (wird in der CalculiX-Analyse zur Berechnung elastischer Verformungen und Spannungen verwendet)
- Young’s modulus (used in the Calculix analysis to calculate elastic deformations and stresses)
* Poissonzahl (gleich)
- Poisson ratio (same)
* uniaxiale Druckfestigkeit (wird bei der Nachbearbeitung in der FEM zur Berechnung der Mohr-Coulomb-Spannung als Indikator für Quetsch- oder Scherversagen im Beton verwendet)
- uniaxial compressive strength (used during post-processing in FEM to calculate the Mohr Coulomb stress as an indicator for crushing or shear failure in concrete)
* Reibungswinkel (gleich)
- friction angle (same)


für Stahl:
für Stahl:


- Streckgrenze (wird bei der Nachbearbeitung in der FEM zur Berechnung von Bewehrungsverhältnissen verwendet)
* Streckgrenze (wird bei der Nachbearbeitung in der FEM zur Berechnung von Bewehrungsverhältnissen verwendet)


Bitte beachten, dass drei Arten von Analysen durchgeführt werden:
Please note that three types of analysis are performed: 1) An elastic analysis using Calculix (only utilising the elastic parameters for concrete); 2) A post processing step to analyse the required reinforcement (only utilising the yield strength of steel) and 3) Calculation of the Mohr Coulomb stress (only using the strength parameters of concrete, i.e. uniaxial compressive strength and friction angle). The Mohr Coulomb stress can be reviewed in the VTK pipeline.
# Eine elastische Analyse mit CalculiX (nur unter Verwendung der elastischen Parameter von Beton)
# Ein Nachbearbeitungsschritt zur Analyse der erforderlichen Bewehrung (nur unter Verwendung der Streckgrenze von Stahl) und
# Berechnung der Mohr-Coulomb-Spannung (nur unter Verwendung der Festigkeitsparameter von Beton, d.h. einachsige Druckfestigkeit und Reibungswinkel). Die Mohr-Coulomb-Spannung kann in der VTK-Pipeline überprüft werden.


<span id="Application"></span>
== Anwendung ==
== Anwendung ==
Im weiteren Verlauf dieses Artikels werden einige praktische Fälle analysiert, um die Anwendung der Methode zu diskutieren.


Im weiteren Verlauf dieses Artikels werden einige praktische Fälle analysiert, um die Anwendung der Methode zu diskutieren.
=== Simply supported beam with uniform load ===

A 4.0x0.1x0.3m concrete beam is loaded by self weight and a 100kN (25kN/m) distributed load.
<span id="Simply_supported_beam_with_uniform_load"></span>
=== Einfach gelagerter Träger mit gleichmäßiger Belastung ===

Ein 4,0x0,1x0,3 m langer Betonbalken wird durch Eigengewicht und eine verteilte Last von 100 kN (25 kN/m) belastet.


Die Materialparameter sind wie folgt:
Die Materialparameter sind wie folgt:
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für Beton:
für Beton:


- Young’s modulus = 32 GPa (as per Calculix default for concrete)
* Elastizitätsmodul = 32 GPa (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
* Poissonzahl = 0,17 (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
- Poisson ratio = 0.17 (as per Calculix default for concrete)
- uniaxial compressive strength = 30 MPa (concrete type C30/37)
* uniaxiale Druckfestigkeit = 30 MPa (Betontyp C30/37)
- friction angle = 30 degrees
* Reibungswinkel = 30 °


für Stahl:
für Stahl:


- Streckgrenze = 500 MPa
* Streckgrenze = 500 MPa


Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3
Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3


Die erforderliche Bewehrung in x Richtung ist sehr hoch (5,4 %) und überschreitet typische, nach den Normen zulässige Höchstprozentsätze, um sprödes Versagen zu verhindern. Die hohen Schubspannungen an den Stützen führen ebenfalls zu der Forderung nach einer hohen Bewehrung:
Die erforderliche Bewehrung in x-Richtung ist sehr hoch (5,4 %) und überschreitet typische, nach den Normen zulässige Höchstprozentsätze, um sprödes Versagen zu verhindern. Die hohen Schubspannungen an den Stützen führen ebenfalls zu der Forderung nach einer hohen Bewehrung:



[[Image:Pre_Stressed_Beam_2_Weight_Load_RR_x_0.054.jpg|700px]]
[[Image:Pre_Stressed_Beam_2_Weight_Load_RR_x_0.054.jpg|700px]]


Das Mohr-Coulomb-Diagramm zeigt, dass der Balken tatsächlich anfällig für Quetschungen auf der Druckseite ist (Mohr-Coulomb-Spannung > 0,0), wie bei einem sehr hohen Bewehrungsprozentsatz zu erwarten wäre:

Das Mohr Coulomb Diagramm zeigt, dass der Balken tatsächlich anfällig für Quetschungen auf der Druckseite ist (Mohr Coulomb Spannung > 0,0), wie bei einem sehr hohen Bewehrungsprozentsatz zu erwarten wäre:



[[Image:Pre_Stressed_Beam_2_Weight_Load_MC.jpg|700px]]
[[Image:Pre_Stressed_Beam_2_Weight_Load_MC.jpg|700px]]


Sowohl das Verstärkungsverhältnis als auch die Mohr-Coulomb-Spannung deuten darauf hin, dass wir ein Problem haben und dass wir unseren konzeptionellen Entwurf überdenken müssen. Mögliche Lösungen sind die Vergrößerung der Balkenabmessungen oder die Verwendung von Spannbeton. Weitere Einzelheiten findest du im folgenden Beitrag:
Both the reinforcement ratio and Mohr Coulomb stress indicate that we have an issue and that we need to rethink our conceptual design. Potential solutions are to increase the beam dimensions or use pre-stressed concrete. Further details can be found in the following post:

https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=10#p235003
https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=10#p235003

=== Beam with mid-span support ===
<span id="Beam_with_mid-span_support"></span>
A 8.0x0.2x0.4m concrete beam is loaded by self weight and a 160kN (20kN/m) distributed load.
=== Träger mit Halbspannweitenstützen ===

Ein 8,0x0,2x0,4 m langer Betonbalken wird durch Eigengewicht und eine verteilte Last von 160 kN (20 kN/m) belastet.


Die Materialparameter sind wie folgt:
Die Materialparameter sind wie folgt:
Line 84: Line 97:
für Beton:
für Beton:


- Young’s modulus = 32 GPa (as per Calculix default for concrete)
* Elastizitätsmodul = 32 GPa (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
* Poissonzahl = 0,17 (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
- Poisson ratio = 0.17 (as per Calculix default for concrete)
- uniaxial compressive strength = 25 MPa (concrete type B25)
* uniaxiale Druckfestigkeit = 25 MPa (Betontyp B25)
- friction angle = 30 degrees
* Reibungswinkel = 30 Grad


für Stahl:
für Stahl:


- yield strength = 286 MPa (reduced from 500 MPa to account for a safety factor of 1.75)
* Streckgrenze = 286 MPa (reduziert von 500 MPa, um einen Sicherheitsfaktor von 1,75 zu berücksichtigen)


Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3
Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3


Das ParaView-Diagramm der exportierten VTK-Datei zeigt, dass der Bewehrungsbedarf am oberen Ende des Trägers in der Nähe der Mittelstütze am größten ist. Hier tritt das höchste Biegemoment auf. Der maximale Bewehrungsgrad von 0,02 liegt am oberen Ende des zuvor genannten praktischen Bereichs:
The ParaView plot of the exported VTK file shows that the reinforcement requirement is largest at the top of the beam near the central support. Here the highest bending moment occurs. The maximum reinforcement ratio is with 0.02 at the high end of the practical range quoted earlier:



[[Image:Beam_with_Central_Support_rx_full.png|700px]]
[[Image:Beam_with_Central_Support_rx_full.png|700px]]


Die erforderliche Stahlfläche an der zentralen Stütze kann mit einem ParaView-Integrationsfilter erreicht werden, der auf den mittleren Abschnitt des Trägers angewendet wird:
The required area of steel at the central support can be obtained with a ParaView integration filter applied to the mid section of the beam:



[[Image:CoG_Reinforcement.png|700px]]
[[Image:CoG_Reinforcement.png|700px]]


Die Platte unten in diesem Bild zeigt, dass die gesamte erforderliche Stahlfläche bei diesem Querschnitt 389,6 mm^2 beträgt. Da ein Bewehrungsstab mit einem Durchmesser von 12 mm eine Querschnittsfläche von 113 mm^2 hat, bedeutet dies, dass 4 Stäbe erforderlich wären, was eine Querschnittsfläche von 452 mm^2 ergibt. Diese müssten in der Nähe der Oberkante des Balkens platziert werden, wobei eine ausreichende Betondeckung erhalten bleiben müsste. Der theoretische Schwerpunkt für die Bewehrung kann durch Integration ermittelt werden:
The panel at the bottom of this picture shows that the total required steel area at this cross section is 389.6 mm^2. As one reinforcement bar of diameter 12mm has a cross sectional area of 113mm^2, it means that 4 bars would be required, giving a cross sectional area of 452 mm^2. These would need to be placed near the top of the beam, while maintaining sufficient concrete cover. The theoretical center of gravity for the reinforcement can be found by integration:


CoG_y = Integrate (rx * y dy dz) / Integrate (rx dy dz)
CoG_y = Integrate (rx * y dy dz) / Integrate (rx dy dz)
CoG_z = Integrate (rx * z dy dz) / Integrate (rx dy dz)


CoG_z = Integrate (rx * z dy dz) / Integrate (rx dy dz)
These integrals can also be determined with ParaView and give for the present case (see bottom panels in the above picture):


Diese Integrale können auch mit ParaView bestimmt und für den vorliegenden Fall angegeben werden (siehe untere Platten in der obigen Abbildung):
CoG_y = 38961 / 389.6 = 100.0 mm
CoG_z = 134917 / 389.6 = 346.3 mm


CoG_y = 38961 / 389.6 = 100.0 mm
which is, as expected, center-width and near the top.


CoG_z = 134917 / 389.6 = 346.3 mm


die erwartungsgemäß in der Mitte und nahe der Spitze liegt.
The reinforcement requirement found above agrees well with that obtained using traditional methods:

Die oben gefundene Verstärkungsanforderung stimmt gut mit derjenigen überein, die mit herkömmlichen Methoden erreicht wird:


https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=20#p235063
https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=20#p235063


Schließlich sollte ein Mohr-Coulomb-Spannungsnachweis durchgeführt werden, um die potenzielle Quetschung des Betons zu überprüfen. Für diesen Nachweis sollte die charakteristische Druckfestigkeit des Betons (25MPa) durch einen geeigneten Materialfaktor (>1,0) geteilt werden.
Finally, a Mohr Coulomb stress check should be performed to check potential crushing of the concrete. For this check, the characteristic compressive strength of concrete (25MPa) should be divided by an appropriate material factor (>1.0).


<span id="Shear_wall_with_uniform_load"></span>
=== Shear wall with uniform load ===
=== Scherwand mit gleichmäßiger Belastung ===
A 4.0x2.0x0.15m wall is supported by two 0.5m wide columns. The wall is loaded by self weight and a 1.0MN distributed load at the top.


Eine 4,0x2,0x0,15 m hohe Wand wird von zwei 0,5 m breiten Säulen getragen. Die Wand wird durch Eigengewicht und eine verteilte Last von 1,0 MN an der Oberseite belastet.
The material parameters are as follows:

Die Materialparameter sind wie folgt:


für Beton:
für Beton:


- Young’s modulus = 32 GPa (as per Calculix default for concrete)
* Elastizitätsmodul = 32 GPa (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
* Poissonzahl = 0,17 (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
- Poisson ratio = 0.17 (as per Calculix default for concrete)
- uniaxial compressive strength = 20 MPa
* uniaxiale Druckfestigkeit = 20 MPa
- friction angle = 30 degrees
* Reibungswinkel = 30 Grad


für Stahl:
für Stahl:


- Streckgrenze = 286 MPa
* Streckgrenze = 286 MPa


Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3
Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3


Der horizontale Bewehrungsgrad erreicht seinen Höchstwert bei 0,014 (1,4%) in der Nähe des unteren Mittelteils der Wand und der vertikale Bewehrungsgrad liegt bei maximal 0,008 (0,8%) in der Nähe der Ecken der Wand mit den Stützen, wo die Schubspannungen am höchsten sind:
The horizontal reinforcement ratio peaks at 0.014 (1.4%) near the bottom center section of the wall and the vertical reinforcement ratio is at a maximum 0.008 (0.8%) near the corners of the wall with the columns, where the shear stresses are highest:



[[Image:Wall_3D.jpg|1000px]]
[[Image:Wall_3D.jpg|1000px]]


Das obige Bild zeigt mögliche Zonen mit konstantem Bewehrungsverhältnis für den Bewehrungsentwurf. Obwohl ein Mindestbewehrungsgrad von 0,2% gewählt wird, wird es in der Praxis schwierig sein, einen so niedrigen Wert zu erreichen, da der Abstand eine praktische Grenze (sagen wir 300mm) nicht überschreiten sollte. Selbst bei einem leichten Bewehrungsgitter aus 10mm Stäben (Querschnittsfläche = 78mm^2) würde der Bewehrungsgrad dann 2 * 78 / (150 * 300) = 0,0035 (0,35%) betragen. (Anmerkung: Der Faktor 2 ergibt sich aus der Tatsache, dass das Gitter auf beiden Seiten der Wand angebracht wird). Wenn wir einen weiteren Stab zum Gitter hinzufügen (und damit den Abstand halbieren), würde sich das Bewehrungsverhältnis auf 0,7% verdoppeln, und ein weiterer Stab würde ungefähr 1% ergeben. Der größte Teil der erforderlichen Bewehrung könnte also erreicht werden, indem man mit einem Gitter von d=10mm im Abstand von 300x300mm beginnt und je nach Bedarf Stäbe in horizontaler oder vertikaler Richtung hinzufügt. Dies würde alle Anforderungen bis auf die Anforderung an der Unterseite der Wand abdecken, wo wir 3 Stäbe d=12mm hinzufügen könnten, was ein horizontales Bewehrungsverhältnis von 3 * 113mm^2 / (150mm * 150mm) = 0,015 (1,5%) ergeben würde. Hier wird angenommen, dass die Höhe der unteren Zone 150 mm beträgt. Alternativ könnten wir 2 Stäbe mit einem Durchmesser von 16 mm wählen, die das gleiche Verstärkungsverhältnis für eine Zone von 180 mm Höhe erreichen würden.
The above picture shows possible zones of constant reinforcement ratio for the design of reinforcement. Although a minimum reinforcement percentage of 0.2% is chosen, it will be hard to achieve such a low value in practice, given that the the spacing should not exceed a practical limit (say 300mm). Even with a light reinforcement grid of 10mm bars (cross sectional area = 78mm^2), the reinforcement ratio would then be 2 * 78 / (150 * 300) = 0.0035 (0.35%). (Note: the factor 2 stems from the fact that the grid will be placed at both faces of the wall). If we add one more bar to the grid (halving the distance) the reinforcement ratio would double to 0.7% and one more would give approximately 1%. So most of the reinforcement requirement could be achieved by starting off with a grid of d=10mm at 300x300mm spacing and adding bars in horizontal or vertical direction, as required. This would cover all but the requirement at the bottom of the wall, where we could add 3 bars d=12mm, giving a horizontal reinforcement ratio of 3 * 113mm^2 / (150mm * 150mm) = 0.015 (1.5%). Here it is assumed that the height of the bottom zone is 150mm. Alternatively, we could chose 2 bars of 16mm diamter, which would achieve the same reinforcement ratio for a zone of 180mm height.

Schließlich zeigt eine Überprüfung der Mohr-Coulomb-Spannung, dass keine Betonzertrümmerung in der Wand zu erwarten ist.


Finally, a review of the Mohr Coulomb stress shows that no concrete crushing is expected in the wall.
https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=10#p234673
https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=10#p234673
=== Deep beam with opening ===
The FIB Practitioners' Guide to Finite Element Modelling of Reinforced Concrete Structures contains a design example of a deep concrete beam with opening. The example is used in that report to demonstrate the "Strut-and-Tie" method. Here the results will be compared to those obtained with the FreeCAD FEM workbench.


<span id="Deep_beam_with_opening"></span>
The beam dimensions are 11.0x4.0x0.6m and it is loaded at the top by a distributed load of 120kN/m and a load of 5000kN introduced by a 1m wide column. The factored compressive strength of the concrete is 0.75 x 0.6 x fc = 0.45 * 35 = 15.8MPa and the factored yield strength of the reinforcement steel is 315MPa.
=== Tiefer Träger mit Öffnung ===

Der FIB-Praktiker-Leitfaden für Finite-Element-Modellierung von Stahlbetonstrukturen enthält ein Konstruktionsbeispiel eines tiefen Betonbalkens mit einer Öffnung. Das Beispiel wird in diesem Bericht verwendet, um die "Druckstab-und-Zugstab"-Methode zu demonstrieren. Hier werden die Ergebnisse mit denen verglichen, die mit dem FreeCAD-Arbeitsbereich FEM erzielt wurden.

Die Trägerabmessungen sind 11,0x4,0x0,6 m, und er wird oben mit einer verteilten Last von 120 kN/m und einer Last von 5000 kN belastet, die von einer 1 m breiten Säule eingeleitet wird. Die rechnerische Druckfestigkeit des Betons beträgt 0,75 x 0,6 x fc = 0,45 * 35 = 15,8 MPa und die rechnerische Streckgrenze des Bewehrungsstahls 315 MPa.


Die mit FreeCAD abgeleiteten Bewehrungsverhältnisse und Hauptbetonspannungen (nur Druck) sind unten dargestellt:
The reinforcement ratios and principal concrete stresses (compression only) derived with FreeCAD are shown below:


[[Image:FIB Deep Concrete Beam 1.png|1000px]]
[[Image:FIB Deep Concrete Beam 1.png|1000px]]


Die erforderliche horizontale Bewehrung (unten in rot) wird durch Integration des horizontalen Bewehrungsverhältnisses über die interessierenden vertikalen Schnitte (unten in schwarz) ermittelt. Dies geschieht mit Hilfe eines Paraview Integrationsfilters.
The required horizontal reinforcement (below in red) is determined by integration of the horizontal reinforcement ratio over the vertical cuts of interest (below in black). This is done using a Paraview integration filter.


[[Image:FIB Reinforcement(2).jpg|700px]]
[[Image:FIB Reinforcement(2).jpg|700px]]


Die Einfügung in die obige Abbildung zeigt einen Vergleich der mit FreeCAD ermittelten Bewehrungsanforderungen (in mm^2 Stahl) mit denen im FIB Bericht.
The insert to the above figure shows a comparison of reinforcement requirements (in mm^2 of steel) determined with FreeCAD to those in the FIB report.


Im Folgenden wird gezeigt, wie die Integration über die Interessenslinien in Paraview funktioniert:
The following shows how the integration over lines of interest works in Paraview:


[[Image:FIB Reinforcement ry.jpg|700px]]
[[Image:FIB Reinforcement ry.jpg|700px]]


Schließlich ein Diagramm der Druck- und Zugspannungen, um zu zeigen, wie die Spannungen durch den Träger fließen.
Finally a plot of compressive and tensile principal stresses to demonstrate how stresses flow through the beam.


[[Image:FIB Beam Stresses and Cables.jpg|700px]]
[[Image:FIB Beam Stresses and Cables.jpg|700px]]


The tensile stress pattern suggests an alternative design concept using pre-stressing cables (superimposed in white). This concept is further elaborated in the following post: https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=33049
Das Zugspannungsmuster legt ein alternatives Konstruktionskonzept unter Verwendung von Vorspannkabeln (weiß überlagert) nahe. Dieses Konzept wird im folgenden Beitrag weiter ausgearbeitet: https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=33049


<span id="Related"></span>
==Verwandt==
==Verwandt==


* [[FEM Concrete/de|FEM Beton]]
* [[FEM_Concrete/de|FEM Beton]]

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{{FEM Tools navi{{#translation:}}}}
{{Userdocnavi{{#translation:}}}}
{{Userdocnavi{{#translation:}}}}

Latest revision as of 07:26, 25 January 2024

Tutorium
Thema
Stahlbeton mit FEM
Niveau
Geübte
Zeit zum Abschluss
60 Minuten
Autoren
[User: HarryvL
FreeCAD-Version
0.19.xxxxx oder neuer
Beispieldateien
Siehe auch
None

Hintergrund

Der Arbeitsbereich FEM ist in der Lage, das Ausmaß der Bewehrung abzuschätzen, die in einer Betonstruktur erforderlich ist, um sprödes Versagen unter Zug oder Scherung zu verhindern.

Dies geschieht mit der in "Berechnung der Bewehrung für Vollbeton", P.C.J. Hoogenboom und A. de Boer, HERON Vol. 53 (2008) Nr. 4 beschriebenen Methode. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine Nachbearbeitungsroutine für CalculiX, die die wichtigsten Zugspannungen im Beton aus einer elastischen Analyse berechnet und diese verwendet, um die Mindestbewehrung in den drei Koordinatenrichtungen zu bestimmen, die erforderlich ist, um ein Versagen zu verhindern. Bei der Analyse wird davon ausgegangen, dass das Betonmaterial keine Zugspannungen tragen kann, während der Stahl bis zu seiner maximalen Kapazität ausgenutzt wird (d.h. die Streckgrenze erreicht).

Die erforderliche Bewehrung wird in Form eines Bewehrungsverhältnisses ausgedrückt. Dies ist das Verhältnis von Stahl zur Betonfläche. Zum Beispiel bedeutet ein Bewehrungsverhältnis von 0,01 in x-Richtung (rx = 0,01), dass die Gesamtquerschnittsfläche von Bewehrungsstäben, die in x-Richtung verlaufen, 1% der Betonquerschnittsfläche betragen sollte, die sie durchqueren. Ein hypothetischer Querschnitt von 1mx1m sollte in diesem Fall 0,01 m2 Stahl enthalten, was durch die Verwendung von 90 Bewehrungsstäben mit jeweils 12 mm Durchmesser erreicht werden könnte (Stahlfläche = 90*PI*(0,012)^2/4 = 0,0102 m^2). Wenn der erforderliche Bewehrungsgrad über diesen Betonquerschnitt einheitlich ist, könnten die Stäbe in einem äquidistanten 9x10 Raster mit einem Achsabstand von etwa 10 cm angeordnet werden. Dies ist immer noch eine praktische Zahl, bei der genügend Platz zwischen den Stäben bleibt, damit der Beton durchlaufen und eine qualitativ hochwertige Abdeckung gewährleistet werden kann. Viel höhere Werte würden zu einem sehr dichten Bewehrungsgitter mit potenziellen Qualitätsproblemen führen, während viel niedrigere Werte zu großen Spannungsrissen im Querschnitt zwischen den Stäben führen könnten. Ein typischer Bereich in der Praxis liegt zwischen 0,002 und 0,02 (= 0,2% bis 2%). Weitere Hinweise sind in den Bemessungsnormen zu finden.

Wenn das erforderliche Bewehrungsverhältnis über den gesamten Querschnitt nicht einheitlich ist, kann der Querschnitt in pragmatische Unterabschnitte mit mehr oder weniger einheitlichem Verhältnis und der auf diese Querschnitte aufgebrachten Bewehrung unterteilt werden. Ein Beispiel wird später angegeben.

Als ein Wort der Vorsicht sei gesagt, dass es für den Entwurf einer sicheren und dauerhaften Betonstruktur viel mehr braucht, als das, was der Arbeitsbereich FEM derzeit leisten kann. Die Methode berechnet beispielsweise keine Rissbreite (wichtig für Dauerhaftigkeit und Funktionalität), keine genauen Verformungen (FEM-Ergebnisse für Beton sind einfach linear-elastisch) und berücksichtigt auch nicht die Anforderungen an die Bewehrungsverankerung (was zu einer Erhöhung der erforderlichen Bewehrungsverhältnisse in den Verankerungszonen führt). Es werden auch keine Betonquetschungen vorhergesagt (obwohl ein Hinweis darauf durch Auftragen der Mohr-Coulomb-Spannung erhalten werden kann - siehe weiter unten), was bedeuten könnte, dass der Beton versagt, bevor die Bewehrung nachgibt, was zu sprödem Versagen der Gesamtstruktur führt. Diese und andere Einschränkungen bedeuten, dass die FEM-Betonfunktionalität nur zur Beurteilung von Konzeptentwürfen verwendet werden kann, während detaillierte Entwurfsentscheidungen, die für die Sicherheit und Leistung entscheidend sind, qualifizierten Fachleuten überlassen werden sollten.

Modellgeometrie, Lasten und Stützen

Obwohl die FEM-Betonroutine keine zusätzlichen Anforderungen an Geometrie, Lasten und Stützen stellt, ist zu bedenken, dass scharfe Ecken und Stützen an Kanten oder Knoten Spannungskonzentrationen erzeugen können, die an oder in der Nähe dieser Stellen zu extrem hohen und unrealistischen Bewehrungsverhältnissen führen.

Werkstoffparameter

Der Arbeitsbereich FEM hat ein spezielles Materialobjekt für verstärkte Materialien, das ein Matrixmaterial (z.B. Beton) und ein Verstärkungsmaterial (z.B. Stahl) kombiniert. Für die Analyse von Stahlbeton mit der FEM müssen mindestens die folgenden Parameter angegeben werden:

für Beton:

  • Elastizitätsmodul (wird in der CalculiX-Analyse zur Berechnung elastischer Verformungen und Spannungen verwendet)
  • Poissonzahl (gleich)
  • uniaxiale Druckfestigkeit (wird bei der Nachbearbeitung in der FEM zur Berechnung der Mohr-Coulomb-Spannung als Indikator für Quetsch- oder Scherversagen im Beton verwendet)
  • Reibungswinkel (gleich)

für Stahl:

  • Streckgrenze (wird bei der Nachbearbeitung in der FEM zur Berechnung von Bewehrungsverhältnissen verwendet)

Bitte beachten, dass drei Arten von Analysen durchgeführt werden:

  1. Eine elastische Analyse mit CalculiX (nur unter Verwendung der elastischen Parameter von Beton)
  2. Ein Nachbearbeitungsschritt zur Analyse der erforderlichen Bewehrung (nur unter Verwendung der Streckgrenze von Stahl) und
  3. Berechnung der Mohr-Coulomb-Spannung (nur unter Verwendung der Festigkeitsparameter von Beton, d.h. einachsige Druckfestigkeit und Reibungswinkel). Die Mohr-Coulomb-Spannung kann in der VTK-Pipeline überprüft werden.

Anwendung

Im weiteren Verlauf dieses Artikels werden einige praktische Fälle analysiert, um die Anwendung der Methode zu diskutieren.

Einfach gelagerter Träger mit gleichmäßiger Belastung

Ein 4,0x0,1x0,3 m langer Betonbalken wird durch Eigengewicht und eine verteilte Last von 100 kN (25 kN/m) belastet.

Die Materialparameter sind wie folgt:

für Beton:

  • Elastizitätsmodul = 32 GPa (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
  • Poissonzahl = 0,17 (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
  • uniaxiale Druckfestigkeit = 30 MPa (Betontyp C30/37)
  • Reibungswinkel = 30 °

für Stahl:

  • Streckgrenze = 500 MPa

Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3

Die erforderliche Bewehrung in x-Richtung ist sehr hoch (5,4 %) und überschreitet typische, nach den Normen zulässige Höchstprozentsätze, um sprödes Versagen zu verhindern. Die hohen Schubspannungen an den Stützen führen ebenfalls zu der Forderung nach einer hohen Bewehrung:

Das Mohr-Coulomb-Diagramm zeigt, dass der Balken tatsächlich anfällig für Quetschungen auf der Druckseite ist (Mohr-Coulomb-Spannung > 0,0), wie bei einem sehr hohen Bewehrungsprozentsatz zu erwarten wäre:

Sowohl das Verstärkungsverhältnis als auch die Mohr-Coulomb-Spannung deuten darauf hin, dass wir ein Problem haben und dass wir unseren konzeptionellen Entwurf überdenken müssen. Mögliche Lösungen sind die Vergrößerung der Balkenabmessungen oder die Verwendung von Spannbeton. Weitere Einzelheiten findest du im folgenden Beitrag:

https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=10#p235003

Träger mit Halbspannweitenstützen

Ein 8,0x0,2x0,4 m langer Betonbalken wird durch Eigengewicht und eine verteilte Last von 160 kN (20 kN/m) belastet.

Die Materialparameter sind wie folgt:

für Beton:

  • Elastizitätsmodul = 32 GPa (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
  • Poissonzahl = 0,17 (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
  • uniaxiale Druckfestigkeit = 25 MPa (Betontyp B25)
  • Reibungswinkel = 30 Grad

für Stahl:

  • Streckgrenze = 286 MPa (reduziert von 500 MPa, um einen Sicherheitsfaktor von 1,75 zu berücksichtigen)

Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3

Das ParaView-Diagramm der exportierten VTK-Datei zeigt, dass der Bewehrungsbedarf am oberen Ende des Trägers in der Nähe der Mittelstütze am größten ist. Hier tritt das höchste Biegemoment auf. Der maximale Bewehrungsgrad von 0,02 liegt am oberen Ende des zuvor genannten praktischen Bereichs:

Die erforderliche Stahlfläche an der zentralen Stütze kann mit einem ParaView-Integrationsfilter erreicht werden, der auf den mittleren Abschnitt des Trägers angewendet wird:

Die Platte unten in diesem Bild zeigt, dass die gesamte erforderliche Stahlfläche bei diesem Querschnitt 389,6 mm^2 beträgt. Da ein Bewehrungsstab mit einem Durchmesser von 12 mm eine Querschnittsfläche von 113 mm^2 hat, bedeutet dies, dass 4 Stäbe erforderlich wären, was eine Querschnittsfläche von 452 mm^2 ergibt. Diese müssten in der Nähe der Oberkante des Balkens platziert werden, wobei eine ausreichende Betondeckung erhalten bleiben müsste. Der theoretische Schwerpunkt für die Bewehrung kann durch Integration ermittelt werden:

CoG_y = Integrate (rx * y dy dz) / Integrate (rx dy dz)

CoG_z = Integrate (rx * z dy dz) / Integrate (rx dy dz)

Diese Integrale können auch mit ParaView bestimmt und für den vorliegenden Fall angegeben werden (siehe untere Platten in der obigen Abbildung):

CoG_y = 38961 / 389.6 = 100.0 mm

CoG_z = 134917 / 389.6 = 346.3 mm

die erwartungsgemäß in der Mitte und nahe der Spitze liegt.

Die oben gefundene Verstärkungsanforderung stimmt gut mit derjenigen überein, die mit herkömmlichen Methoden erreicht wird:

https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=20#p235063

Schließlich sollte ein Mohr-Coulomb-Spannungsnachweis durchgeführt werden, um die potenzielle Quetschung des Betons zu überprüfen. Für diesen Nachweis sollte die charakteristische Druckfestigkeit des Betons (25MPa) durch einen geeigneten Materialfaktor (>1,0) geteilt werden.

Scherwand mit gleichmäßiger Belastung

Eine 4,0x2,0x0,15 m hohe Wand wird von zwei 0,5 m breiten Säulen getragen. Die Wand wird durch Eigengewicht und eine verteilte Last von 1,0 MN an der Oberseite belastet.

Die Materialparameter sind wie folgt:

für Beton:

  • Elastizitätsmodul = 32 GPa (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
  • Poissonzahl = 0,17 (gemäß der CalculiX-Vorgabe für Beton)
  • uniaxiale Druckfestigkeit = 20 MPa
  • Reibungswinkel = 30 Grad

für Stahl:

  • Streckgrenze = 286 MPa

Das spezifische Gewicht des Betons wird angenommen mit 24kN/m^3

Der horizontale Bewehrungsgrad erreicht seinen Höchstwert bei 0,014 (1,4%) in der Nähe des unteren Mittelteils der Wand und der vertikale Bewehrungsgrad liegt bei maximal 0,008 (0,8%) in der Nähe der Ecken der Wand mit den Stützen, wo die Schubspannungen am höchsten sind:

Das obige Bild zeigt mögliche Zonen mit konstantem Bewehrungsverhältnis für den Bewehrungsentwurf. Obwohl ein Mindestbewehrungsgrad von 0,2% gewählt wird, wird es in der Praxis schwierig sein, einen so niedrigen Wert zu erreichen, da der Abstand eine praktische Grenze (sagen wir 300mm) nicht überschreiten sollte. Selbst bei einem leichten Bewehrungsgitter aus 10mm Stäben (Querschnittsfläche = 78mm^2) würde der Bewehrungsgrad dann 2 * 78 / (150 * 300) = 0,0035 (0,35%) betragen. (Anmerkung: Der Faktor 2 ergibt sich aus der Tatsache, dass das Gitter auf beiden Seiten der Wand angebracht wird). Wenn wir einen weiteren Stab zum Gitter hinzufügen (und damit den Abstand halbieren), würde sich das Bewehrungsverhältnis auf 0,7% verdoppeln, und ein weiterer Stab würde ungefähr 1% ergeben. Der größte Teil der erforderlichen Bewehrung könnte also erreicht werden, indem man mit einem Gitter von d=10mm im Abstand von 300x300mm beginnt und je nach Bedarf Stäbe in horizontaler oder vertikaler Richtung hinzufügt. Dies würde alle Anforderungen bis auf die Anforderung an der Unterseite der Wand abdecken, wo wir 3 Stäbe d=12mm hinzufügen könnten, was ein horizontales Bewehrungsverhältnis von 3 * 113mm^2 / (150mm * 150mm) = 0,015 (1,5%) ergeben würde. Hier wird angenommen, dass die Höhe der unteren Zone 150 mm beträgt. Alternativ könnten wir 2 Stäbe mit einem Durchmesser von 16 mm wählen, die das gleiche Verstärkungsverhältnis für eine Zone von 180 mm Höhe erreichen würden.

Schließlich zeigt eine Überprüfung der Mohr-Coulomb-Spannung, dass keine Betonzertrümmerung in der Wand zu erwarten ist.

https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=28821&start=10#p234673

Tiefer Träger mit Öffnung

Der FIB-Praktiker-Leitfaden für Finite-Element-Modellierung von Stahlbetonstrukturen enthält ein Konstruktionsbeispiel eines tiefen Betonbalkens mit einer Öffnung. Das Beispiel wird in diesem Bericht verwendet, um die "Druckstab-und-Zugstab"-Methode zu demonstrieren. Hier werden die Ergebnisse mit denen verglichen, die mit dem FreeCAD-Arbeitsbereich FEM erzielt wurden.

Die Trägerabmessungen sind 11,0x4,0x0,6 m, und er wird oben mit einer verteilten Last von 120 kN/m und einer Last von 5000 kN belastet, die von einer 1 m breiten Säule eingeleitet wird. Die rechnerische Druckfestigkeit des Betons beträgt 0,75 x 0,6 x fc = 0,45 * 35 = 15,8 MPa und die rechnerische Streckgrenze des Bewehrungsstahls 315 MPa.

Die mit FreeCAD abgeleiteten Bewehrungsverhältnisse und Hauptbetonspannungen (nur Druck) sind unten dargestellt:

Die erforderliche horizontale Bewehrung (unten in rot) wird durch Integration des horizontalen Bewehrungsverhältnisses über die interessierenden vertikalen Schnitte (unten in schwarz) ermittelt. Dies geschieht mit Hilfe eines Paraview Integrationsfilters.

Die Einfügung in die obige Abbildung zeigt einen Vergleich der mit FreeCAD ermittelten Bewehrungsanforderungen (in mm^2 Stahl) mit denen im FIB Bericht.

Im Folgenden wird gezeigt, wie die Integration über die Interessenslinien in Paraview funktioniert:

Schließlich ein Diagramm der Druck- und Zugspannungen, um zu zeigen, wie die Spannungen durch den Träger fließen.

Das Zugspannungsmuster legt ein alternatives Konstruktionskonzept unter Verwendung von Vorspannkabeln (weiß überlagert) nahe. Dieses Konzept wird im folgenden Beitrag weiter ausgearbeitet: https://forum.freecadweb.org/viewtopic.php?f=18&t=33049

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